انرژی جنبشی نسبیتی انرژی جنبشی نسبیتی رابطه بین انرژی و تکانه

فرمول E = ts 2 زیرا انرژی نسبیتی به ما این امکان را می دهد که تفسیری جدید و نسبیتی از جرم یک ذره (نقطه مادی) ارائه دهیم. نشان می دهد که ذره دارای انرژی است Eیعنی جرم داره E/s 2 و بالعکس، وجود جرم تیبه معنای وجود انرژی است ts؟بنابراین، جرم، که در مکانیک کلاسیک یا به عنوان معیاری از اینرسی یک جسم (قانون دوم نیوتن) یا به عنوان معیاری از عمل گرانشی آن (قانون گرانش جهانی) تفسیر می شود، در مکانیک نسبیتی در یک تابع جدید ظاهر می شود: این است اندازه گیری محتوای انرژیبدن، صرف نظر از خواص بی اثر یا گرانشی آن. به ویژه، هر بدنی حتی در حالت استراحت انرژی دارد: این انرژی استراحت آن است tshs 2.جهانی بودن رابطه بین جرم و انرژی در این واقعیت آشکار می شود که "محتوای انرژی" یک جسم شامل هر نوع انرژی موجود در بدن است، از جمله، به عنوان مثال، انرژی درون هسته ای آزاد شده در طی یک انفجار هسته ای (که در تایید شده است. محاسبات انفجار بمب اتمی).

اگرچه ما اغلب از مفاهیم «نقطه مادی» یا «ذره» استفاده می‌کردیم، اما هرگز از ویژگی‌های نقطه‌ای جسم یا ماهیت «بنیادی» ذره استفاده نکردیم. بنابراین، فرمول انرژی نسبیتی برای هر جسم پیچیده متشکل از ذرات زیاد و با سرعت قابل اجرا است. وما سرعت حرکت آن را به عنوان یک کل، و با جرم نسبیتی آن، جرم آن را به عنوان یک کل درک می کنیم. و سپس واضح است که انرژی نسبیتی یک جسم همیشه یک کمیت مثبت است که مستقیماً با جرم آن مرتبط است. در این رابطه می توان اشاره کرد که در مکانیک کلاسیک فقط انرژی جنبشی یک جسم مثبت است، در حالی که انرژی جنبشی به علاوه پتانسیل کل (حفظ شده) نیز می تواند منفی باشد.

بگذارید کل سیستم مکانیکی در حالت سکون باشد و M 0 جرم سکون آن باشد. اگر متشکل از ذرات آزادانه در حال حرکت باشد، انرژی نسبیتی آن برابر با مجموع انرژی های نسبیتی ذرات موجود در ترکیب آن است. در موردی که ذرات یک جسم پیچیده (سیستم) با یکدیگر تعامل دارند، تصویر کاملاً متفاوتی داریم. سپس انرژی کل Md s 2 یک جسم پیچیده علاوه بر انرژی باقیمانده ذرات موجود در ترکیب آن، انرژی جنبشی آنها (آنها می توانند در یک سیستم بسته حرکت کنند) و همچنین انرژی برهمکنش آنها با یکدیگر (مثلاً انرژی برهمکنش هسته ای ذرات تشکیل دهنده هسته یک اتم). پس انرژی Mqc بدن با مجموع Xd برابر نیست تی 0 KS 2،جایی که tdd جرم بقیه است اوهذرات بدن به طور مستقیم از این نتیجه می شود که جرم Mo یک جسم در حال سکون با مجموع جرم های سکون اجزای تشکیل دهنده آن برابر نیست: Mo f Xd t 0؟- این بدان معنی است که قانون بقای جرم در دینامیک نسبیتی ارضا نمی شود. این تفاوت دیگری با مکانیک کلاسیک است: جرم یک جسم پیچیده با مجموع جرم اجزای آن برابر نیست. در عین حال، انرژی نسبیتی یک سیستم بسته حفظ می شود اگر انرژی باقیمانده سیستم را در نظر بگیریم. اگر انرژی سکون در همه فریم ها را به عنوان بخشی از انرژی کل در نظر نگیریم، نمی توان قانون بقای تکانه و انرژی را در همه چارچوب های مرجع برآورده کرد. این درس که توسط فیزیک نسبیتی به ما آموخته شد، به هیچ وجه در فیزیک نیوتنی مورد نظر نبود.

سیستم‌های ذرات برهم کنش را می‌توان به دو نوع تقسیم کرد: سیستم‌هایی که می‌توانند خودبه‌خود تجزیه شوند و سیستم‌هایی که به هم متصل هستند، یعنی دارای حاشیه ایمنی هستند. اگر یک سیستم متلاشی شود، انرژی نسبیتی آن تا حدی به انرژی جنبشی ذرات آزاد شده تبدیل می شود. برای این، بنابراین، Mds 2 > Xa- یا ضروری است

ilio > Xa متر 0 k، ~یک جسم می تواند خود به خود فقط به قسمت هایی متلاشی شود که مجموع جرم های سکون آن ها کمتر از بقیه جرم های بدن باشد. برعکس، اگر Md توسط انرژی اتصال بدن: خیابان ایارزش مثبت

تماس گرفت نقص انبوهبدن پیچیده

همانطور که می بینیم، در مکانیک نسبیتی جرم و انرژی یک سیستم ذرات به ترکیب و حالت درونی آن بستگی دارد. در مورد یک سیستم محدود (قوی)، به عنوان مثال، یک هسته اتم، مجموع جرم های باقی مانده پروتون ها و نوترون های آزاد همیشه بیشتر از جرم استراحت هسته ای است که از آنها تشکیل شده است.

12.4. انرژی یک ذره نسبیتی

12.4.1. انرژی یک ذره نسبیتی

انرژی کل یک ذره نسبیتی متشکل از انرژی استراحت ذره نسبیتی و انرژی جنبشی آن است:

E = E 0 + T،

هم ارزی جرم و انرژی(فرمول انیشتین) به ما اجازه می دهد انرژی استراحت یک ذره نسبیتی و انرژی کل آن را به صورت زیر تعیین کنیم:

  • انرژی استراحت -

E 0 = m 0 c 2،

که در آن m 0 جرم سکون ذره نسبیتی است (جرم ذره در چارچوب مرجع خودش). c سرعت نور در خلاء است، c ≈ 3.0 ⋅ 10 8 m/s.

  • انرژی کل -

E = mc2،

که در آن m جرم یک ذره متحرک است (جرم یک ذره که نسبت به ناظر با سرعت نسبیتی v حرکت می کند). c سرعت نور در خلاء است، c ≈ 3.0 ⋅ 10 8 m/s.

رابطه بین توده ها m 0 (جرم یک ذره در حالت سکون) و m (جرم یک ذره متحرک) با عبارت تعیین می شوند.

انرژی جنبشیذره نسبیتی با تفاوت تعیین می شود:

T = E - E 0،

که در آن E انرژی کل ذره متحرک است، E = mc 2. E 0 - انرژی استراحت ذره مشخص شده، E 0 = m 0 c 2 ; جرم های m 0 و m با فرمول مرتبط هستند

m = m 0 1 - v 2 c 2،

که در آن m 0 جرم ذره در چارچوب مرجع نسبت به آن است که ذره در حال سکون است. m جرم ذره ای است که در چارچوب مرجع نسبت به آن ذره با سرعت v حرکت می کند. c سرعت نور در خلاء است، c ≈ 3.0 ⋅ 10 8 m/s.

به صراحت انرژی جنبشیذره نسبیتی با فرمول تعریف می شود

T = m c 2 − m 0 c 2 = m 0 c 2 ( 1 1 − v 2 c 2 − 1 ) .

مثال 6. سرعت یک ذره نسبیتی 80 درصد سرعت نور است. تعیین کنید که انرژی کل ذره چند برابر بیشتر از انرژی جنبشی آن است.

راه حل . انرژی کل یک ذره نسبیتی متشکل از انرژی استراحت ذره نسبیتی و انرژی جنبشی آن است:

E = E 0 + T،

که در آن E انرژی کل یک ذره متحرک است. E 0 - انرژی استراحت ذره مشخص شده؛ T انرژی جنبشی آن است.

نتیجه این است که انرژی جنبشی تفاوت است

T = E - E 0.

مقدار مورد نیاز نسبت است

E T = E E - E 0 .

برای ساده کردن محاسبات، اجازه دهید معکوس مقدار مورد نظر را پیدا کنیم:

T E = E - E 0 E = 1 - E 0 E،

که در آن E 0 = m 0 c 2 ; E = mc 2 ; متر 0 - توده استراحت؛ m جرم ذره متحرک است. c سرعت نور در خلاء است.

جایگزینی عبارات E0 و E در نسبت (T/E) به دست می آید

T E = 1 - m 0 c 2 m c 2 = 1 - m 0 m .

رابطه بین جرم های m 0 و m با فرمول تعیین می شود

m = m 0 1 - v 2 c 2،

که در آن v سرعت ذره نسبیتی است، v = 0.80c.

اجازه دهید نسبت جرم را از اینجا بیان کنیم:

m 0 m = 1 - v 2 c 2

و آن را با (T/E) جایگزین کنید:

T E = 1 − 1 − v 2 c 2 .

بیایید محاسبه کنیم:

T E = 1 - 1 - (0.80 c) 2 c 2 = 1 - 0.6 = 0.4.

مقدار مورد نیاز نسبت معکوس است

E T = 1 0.4 = 2.5 .

انرژی کل یک ذره نسبیتی در سرعت مشخص شده 2.5 برابر بیشتر از انرژی جنبشی آن است.

موضوعات کد نویسی آزمون یکپارچه: انرژی کل، رابطه بین جرم و انرژی، انرژی استراحت.

در دینامیک کلاسیک ما با قوانین نیوتن شروع کردیم، سپس به حرکت حرکت کردیم و بعد از آن به انرژی رفتیم. در اینجا، برای سادگی ارائه، دقیقاً برعکس عمل می کنیم: با انرژی شروع می کنیم، سپس به حرکت حرکت می کنیم و با معادله نسبیتی حرکت پایان می دهیم - اصلاح قانون دوم نیوتن برای نظریه نسبیت.

انرژی نسبیتی

فرض کنید یک جرم جدا شده در یک چارچوب مرجع معین در حال استراحت است. یکی از چشمگیرترین دستاوردهای نظریه نسبیت، معروف است فرمول انیشتین:

در اینجا انرژی بدن است، سرعت نور در خلاء است. از آنجایی که بدن در حال استراحت است، انرژی محاسبه شده با فرمول (1) نامیده می شود انرژی استراحت.

فرمول (1) بیان می‌کند که هر بدن خودش انرژی دارد - صرفاً به این دلیل که در طبیعت وجود دارد. به بیان تصویری، طبیعت تلاش های خاصی را برای "مجموعه" یک جسم معین از کوچکترین ذرات ماده انجام داده است و معیار این تلاش ها انرژی باقی مانده بدن است. این انرژی بسیار عالی است. بنابراین، یک کیلوگرم ماده حاوی انرژی است

من تعجب می کنم که چقدر سوخت باید سوزانده شود تا این مقدار انرژی آزاد شود؟ به عنوان مثال یک درخت را در نظر بگیرید. گرمای ویژه احتراق آن برابر با J/kg است، بنابراین در می یابیم: کیلوگرم. یعنی نه میلیون تن!

فقط برای مقایسه: سیستم انرژی یکپارچه روسیه چنین انرژی را در حدود ده روز تولید می کند.

چرا چنین انرژی عظیمی که در بدن وجود دارد تا کنون مورد توجه ما قرار نگرفته است؟ چرا انرژی استراحت را در مسائل غیر نسبیتی مربوط به بقا و تبدیل انرژی در نظر نگرفتیم؟ به زودی به این سوال پاسخ خواهیم داد.

از آنجایی که انرژی سکون جسم با جرم آن نسبت مستقیم دارد، تغییر در انرژی استراحت به میزانی منجر به تغییر در جرم بدن می شود.

بنابراین، هنگامی که یک جسم گرم می شود، انرژی درونی آن افزایش می یابد، و بنابراین، جرم بدن افزایش می یابد! در زندگی روزمره به دلیل کوچکی بسیار زیاد متوجه این اثر نمی شویم. به عنوان مثال، برای گرم کردن آب به وزن کیلوگرم (ظرفیت حرارتی ویژه آب برابر است) باید مقدار گرما را منتقل کرد:

افزایش جرم آب برابر با:

چنین تغییر ناچیزی در جرم را نمی توان در زمینه خطاهای ابزار اندازه گیری متوجه شد.

فرمول (1) انرژی بدن را در حالت استراحت می دهد. اگر بدن حرکت کند چه چیزی تغییر می کند؟

اجازه دهید دوباره یک سیستم مرجع ثابت و یک سیستم را در نظر بگیریم که نسبتاً با سرعت حرکت می کند. بگذارید جسمی از جرم در سیستم در حال استراحت باشد. سپس انرژی بدن در سیستم انرژی استراحت است که با فرمول (1) محاسبه می شود. معلوم می شود که هنگام حرکت به یک سیستم، انرژی به همان روش زمان تبدیل می شود - یعنی انرژی یک جسم در سیستمی که در آن بدن با سرعت حرکت می کند برابر است با:

( 2 )

فرمول (2) نیز توسط اینشتین ایجاد شد. قدر است انرژی کلبدن متحرک از آنجایی که این فرمول با "ریشه نسبیتی" که کمتر از واحد است تقسیم می شود، انرژی کل یک جسم متحرک از انرژی باقی مانده بیشتر است. کل انرژی برابر با انرژی باقیمانده فقط در .

عبارت انرژی کل (2) به ما امکان می دهد تا نتایج مهمی در مورد سرعت حرکت ممکن اجسام در طبیعت بگیریم.

1. هر جسم عظیم انرژی خاصی دارد، بنابراین نابرابری باید برآورده شود

این به آن معنا است: سرعت یک جسم عظیم همیشه کمتر از سرعت نور است.

2. در طبیعت ذرات بدون جرم (مثلا فوتون ها) وجود دارند که حامل انرژی هستند. هنگام جایگزینی با فرمول (2)، عدد آن صفر می شود. اما انرژی فوتون غیر صفر است!

تنها راه برای جلوگیری از تناقض در اینجا، پذیرش آن است یک ذره بدون جرم باید با سرعت نور حرکت کند. سپس مخرج فرمول ما به صفر می رسد، بنابراین فرمول (2) به سادگی شکست می خورد. یافتن فرمول برای انرژی ذرات بدون جرم در حیطه اختیارات نظریه نسبیت نیست. بنابراین، بیان انرژی فوتون در فیزیک کوانتوم ایجاد شده است.

به طور شهودی احساس می شود که انرژی کل (2) متشکل از انرژی استراحت و "انرژی حرکت" واقعی است، یعنی انرژی جنبشی بدن. در سرعت های پایین این به وضوح نشان داده شده است. ما از فرمول های تقریبی استفاده می کنیم که برای:

( 3 )
( 4 )

با استفاده از این فرمول ها به طور مداوم از (2) بدست می آوریم:

( 5 )

بنابراین، در سرعت های پایین حرکت، انرژی کل به سادگی به مجموع انرژی سکون و انرژی جنبشی کاهش می یابد. این به عنوان انگیزه ای برای تعریف مفهوم انرژی جنبشی در نظریه نسبیت عمل می کند:

. ( 6 )

وقتی فرمول (6) به یک عبارت غیرنسبیتی تبدیل می شود.

اکنون می‌توانیم به سؤالی که در بالا پرسیده شد، پاسخ دهیم که چرا انرژی باقی مانده هنوز در روابط انرژی غیر نسبیتی در نظر گرفته نشده است. همانطور که از (5) مشاهده می شود، در سرعت های کم حرکت، انرژی سکون به عنوان یک ترم وارد انرژی کل می شود. به عنوان مثال، در مسائل مکانیک و ترمودینامیک، تغییرات در انرژی اجسام حداکثر به چندین میلیون ژول می رسد. این تغییرات در مقایسه با سایر انرژی های اجسام مورد بررسی آنقدر ناچیز است که منجر به تغییرات میکروسکوپی در جرم آنها می شود. بنابراین، می توان با دقت بالا فرض کرد که جرم کل اجسام در طی فرآیندهای مکانیکی یا حرارتی تغییر نمی کند. در نتیجه، مجموع انرژی های استراحت اجسام در ابتدا و انتهای فرآیند به سادگی در هر دو بخش قانون بقای انرژی کاهش می یابد!

اما همیشه این اتفاق نمی افتد. در موقعیت های فیزیکی دیگر، تغییرات در انرژی اجسام می تواند منجر به تغییرات محسوس تر در جرم کل شود. به عنوان مثال، خواهیم دید که در واکنش های هسته ای، تفاوت در جرم محصولات اولیه و نهایی معمولاً کسری از یک درصد است، به عنوان مثال، در هنگام فروپاشی یک هسته اورانیوم، جرم کل محصولات تجزیه تقریباً کمتر است. از جرم هسته اولیه. این یک هزارم جرم هسته به شکل انرژی آزاد می شود که با انفجار بمب اتمی می تواند یک شهر را ویران کند.

در یک برخورد غیر کشسان، بخشی از انرژی جنبشی اجسام به انرژی درونی آنها تبدیل می شود. قانون نسبیتی بقای انرژی کل این واقعیت را در نظر می گیرد: جرم کل اجسام پس از برخورد افزایش می یابد!

اجازه دهید به عنوان مثال دو جسم جرم را در نظر بگیریم که با سرعت یکسان به سمت یکدیگر پرواز می کنند. در نتیجه یک برخورد غیر کشسان، جسمی از جرم تشکیل می شود که سرعت آن بر اساس قانون بقای تکانه برابر با صفر است (این قانون بعداً مورد بحث قرار خواهد گرفت). طبق قانون بقای انرژی به دست می آید:

می بینیم که جرم جسم حاصل از مجموع جرم اجسام قبل از برخورد بیشتر است. جرم اضافی، برابر با، به دلیل انتقال انرژی جنبشی اجسام در حال برخورد به انرژی داخلی به وجود آمده است.

انگیزه نسبیتی

بیان کلاسیک برای تکانه در نظریه نسبیت مناسب نیست - به ویژه با قانون نسبیتی جمع سرعت ها موافق نیست. بیایید این را با مثال ساده زیر ببینیم.

اجازه دهید سیستم نسبت به سیستم با سرعت حرکت کند (شکل 1). دو جسم جرم در این سیستم با سرعت یکسان به سمت یکدیگر پرواز می کنند. یک برخورد غیر کشسان رخ می دهد.

در سیستم، بدن ها پس از برخورد متوقف می شوند. بیایید، مانند بالا، جرم جسم حاصل را پیدا کنیم:

حال بیایید به فرآیند برخورد از دیدگاه سیستم نگاه کنیم. قبل از برخورد، بدن چپ دارای سرعت زیر است:

بدن مناسب سرعت دارد:

حرکت غیرنسبیتی سیستم ما قبل از برخورد برابر است با:

پس از برخورد، جرم حاصل با سرعت حرکت می کند.
حرکت غیرنسبیتی آن برابر است با:

همانطور که می بینیم، یعنی حرکت غیرنسبیتی حفظ نشده است.

به نظر می رسد که بیان صحیح تکانه در نظریه نسبیت با تقسیم عبارت کلاسیک بر "ریشه نسبیتی" به دست می آید: تکانه جسم جرمی که با سرعت حرکت می کند برابر است با:

بیایید به مثالی که اکنون در نظر گرفتیم برگردیم و مطمئن شویم که اکنون همه چیز با قانون بقای تکانه درست خواهد شد.

ضربه سیستم قبل از برخورد:

ضربه پس از برخورد:

حالا همه چیز درست است: !

رابطه بین انرژی و تکانه.

از فرمول های (2) و (7) می توان رابطه قابل توجهی بین انرژی و تکانه در نظریه نسبیت به دست آورد. دو طرف این فرمول ها را مربع می کنیم:

بیایید تفاوت را تغییر دهیم:

این نسبت مورد نیاز است:

. ( 8 )

این فرمول به ما اجازه می دهد تا یک رابطه ساده بین انرژی و تکانه فوتون را شناسایی کنیم. جرم فوتون صفر است و با سرعت نور حرکت می کند. همانطور که قبلاً ذکر شد، انرژی و تکانه خود یک فوتون را نمی توان در SRT یافت: وقتی مقادیر و و را در فرمول های (2) و (7) جایگزین می کنیم، در صورت و مخرج صفر می گیریم. اما با کمک (8) به راحتی می یابیم: , or

( 9 )

در فیزیک کوانتومی، عبارتی برای انرژی فوتون ایجاد می شود که پس از آن تکانه آن با استفاده از فرمول (9) پیدا می شود.

معادله نسبیتی حرکت.

اجازه دهید جسمی از جرم را در نظر بگیریم که تحت تأثیر یک نیرو در امتداد یک محور حرکت می کند. معادله حرکت یک جسم در مکانیک کلاسیک قانون دوم نیوتن است: اگر در یک زمان بینهایت کوچک افزایش سرعت جسم برابر باشد، پس معادله حرکت به شکل زیر نوشته می شود:

. ( 10 )

اکنون توجه می کنیم که این تغییر در تکانه غیرنسبیتی بدن است. در نتیجه، شکل "تکانه" نوشتن قانون دوم نیوتن را به دست می آوریم - مشتق حرکت بدن نسبت به زمان برابر با نیروی اعمال شده به بدن است:

. ( 11 )

همه این چیزها برای شما آشنا هستند، اما تکرار آنها هرگز ضرری ندارد ;-)

معادله کلاسیک حرکت - قانون دوم نیوتن - با توجه به تبدیل‌های گالیله که در مکانیک کلاسیک انتقال از یک سیستم مرجع اینرسی به سیستم مرجع اینرسی دیگر را توصیف می‌کند، تغییرناپذیر است (این بدان معناست که در طول این انتقال، قانون دوم نیوتن شکل خود را حفظ می‌کند). با این حال، در STR، انتقال بین سیستم‌های مرجع اینرسی توسط تبدیل‌های لورنتس توصیف می‌شود و با توجه به آنها، قانون دوم نیوتن دیگر تغییرناپذیر نیست. در نتیجه، معادله کلاسیک حرکت باید با یک معادله نسبیتی جایگزین شود، که شکل خود را تحت تأثیر تبدیل‌های لورنتس حفظ می‌کند.

این واقعیت که قانون دوم نیوتن (10) نمی تواند در SRT صادق باشد، در مثال ساده زیر به وضوح دیده می شود. فرض کنید یک نیروی ثابت به بدن وارد می شود. سپس، طبق مکانیک کلاسیک، بدن با شتاب ثابت حرکت می کند. سرعت بدن به صورت خطی افزایش می یابد و به مرور زمان از سرعت نور بیشتر می شود. اما ما می دانیم که واقعا چیست
در واقع این غیر ممکن است.

معادله صحیح حرکت در نظریه نسبیت معلوم می شود که اصلاً پیچیده نیست.
معادله نسبیتی حرکت به شکل (11) است، که در آن p تکانه نسبیتی است:

. ( 12 )

مشتق تکانه نسبیتی نسبت به زمان برابر با نیروی وارد شده به بدن است.

در نظریه نسبیت، معادله (12) جایگزین قانون دوم نیوتن می شود.

بیایید دریابیم که چگونه یک جسم به جرم m تحت تأثیر یک نیروی ثابت حرکت می کند. تحت شرط فرمول (12) به دست می آوریم:

باقی مانده است که سرعت را از اینجا بیان کنیم:

. ( 13 )

بیایید ببینیم این فرمول برای زمان های کوچک و طولانی حرکت چه می دهد.
ما از روابط تقریبی برای موارد زیر استفاده می کنیم:

, ( 14 )

. ( 15 )

فرمول (14) و (15) با فرمول (3) و (4) فقط در علامت سمت چپ تفاوت دارد. من به شدت توصیه می کنم که تمام این چهار برابری تقریبی را به خاطر بسپارید - آنها اغلب در فیزیک استفاده می شوند.

بنابراین، ما با زمان های حرکت کوچک شروع می کنیم. اجازه دهید عبارت (13) را به صورت زیر تبدیل کنیم:

برای کوچیک ها داریم:

با استفاده مداوم از فرمول های تقریبی خود، به دست می آوریم:

عبارت داخل پرانتز تقریباً با وحدت تفاوتی ندارد ، بنابراین برای مقادیر کوچک داریم:

اینجا شتاب بدن است. ما به نتیجه ای رسیدیم که از مکانیک کلاسیک به خوبی برای ما شناخته شده است: سرعت یک جسم با زمان به صورت خطی افزایش می یابد. این تعجب آور نیست - در زمان های کوتاه حرکت سرعت بدن نیز کم است، بنابراین می توانیم از اثرات نسبیتی غافل شویم و از مکانیک معمول نیوتن استفاده کنیم.

حالا بیایید به زمان های بزرگ برویم. بیایید فرمول (13) را متفاوت تبدیل کنیم:

برای مقادیر بزرگ ما داریم:

به وضوح مشاهده می شود که وقتی سرعت بدن به طور پیوسته به سرعت نور نزدیک می شود، اما همیشه کمتر باقی می ماند - همانطور که توسط نظریه نسبیت لازم است.

وابستگی سرعت بدن به زمان، که با فرمول (13) ارائه شده است، به صورت گرافیکی در شکل 1 نشان داده شده است. 2.

بخش اولیه نمودار تقریباً خطی است. مکانیک کلاسیک هنوز در اینجا کار می کند. متعاقباً، اصلاحات نسبیتی اعمال می‌شوند، نمودار خم می‌شود و در زمان‌های زیادی منحنی ما به طور مجانبی به یک خط مستقیم نزدیک می‌شود.

قانون دوم نیوتن بیان می کند که مشتق تکانه یک ذره (نقطه مادی) نسبت به زمان برابر است با نیروی حاصله که بر ذره وارد می شود (به فرمول (9.1) مراجعه کنید). معادله قانون دوم تحت تبدیل‌های لورنتس ثابت می‌شود اگر منظور از تکانه مقدار (67.5) باشد. بنابراین، بیان نسبیتی قانون دوم نیوتن دارای شکل است

باید در نظر داشت که این رابطه در حالت نسبیتی قابل اجرا نیست و شتاب w و نیروی F، به طور کلی، غیر خطی هستند.

توجه داشته باشید که تکانه و نیرو کمیت های ثابت نیستند. فرمول های تبدیل مولفه های تکانه هنگام حرکت از یک سیستم مرجع اینرسی به سیستم دیگر در پاراگراف بعدی به دست می آید. ما فرمول هایی برای تبدیل مولفه های نیرو بدون آن خواهیم داد. خروجی:

(سرعت ذرات در سیستم K). اگر در سیستم K نیروی F وارد بر ذره عمود بر سرعت ذره V باشد، حاصل ضرب اسکالر FV برابر با صفر است و اولین فرمول (68.2) به صورت زیر ساده می شود:

برای یافتن یک عبارت نسبیتی برای انرژی، همان کاری را انجام می دهیم که در § 19 انجام دادیم. معادله (68.1) را در جابجایی ذره ضرب کنید. در نتیجه بدست می آوریم

سمت راست این رابطه کار انجام شده روی ذره را در زمان نشان می دهد. در § 19 نشان داده شد که کار برآیند همه نیروها به افزایش انرژی جنبشی ذره می رود (به فرمول مراجعه کنید). در نتیجه، سمت چپ رابطه باید به عنوان افزایش انرژی جنبشی T ذره در طول زمان تفسیر شود. بدین ترتیب،

اجازه دهید عبارت حاصل را با در نظر گرفتن این تغییر دهیم (نگاه کنید به (2.54)):

ادغام رابطه حاصل می دهد

(68.4)

در مفهوم انرژی جنبشی، باید در آن ناپدید شود، بنابراین، مقدار ثابت برابر است با بنابراین، بیان نسبیتی برای انرژی جنبشی یک ذره شکل دارد.

در مورد سرعت های پایین، فرمول (68.5) را می توان به صورت زیر تبدیل کرد:

ما به بیان نیوتنی برای انرژی جنبشی یک ذره رسیدیم. این قابل انتظار بود، زیرا در سرعت های بسیار کمتر از سرعت نور، همه فرمول های مکانیک نسبیتی باید به فرمول های مربوط به مکانیک نیوتنی تبدیل شوند.

یک ذره آزاد (یعنی ذره ای که تحت نیروهای خارجی قرار نمی گیرد) را در نظر بگیرید که با سرعت v حرکت می کند. ما متوجه شدیم که این ذره دارای انرژی جنبشی است که با فرمول (5/68) تعیین می شود. با این حال، دلایلی وجود دارد (به زیر مراجعه کنید) برای نسبت دادن به یک ذره آزاد، علاوه بر انرژی جنبشی (68.5)، انرژی اضافی برابر با

بنابراین، انرژی کل یک ذره آزاد با بیان تعیین می شود. با در نظر گرفتن (68.5) آن را بدست می آوریم

هنگامی که عبارت (68.7) تبدیل به (68.6) می شود. بنابراین انرژی استراحت نامیده می شود. این انرژی نشان‌دهنده انرژی درونی ذره است و با حرکت ذره به عنوان یک کل مرتبط نیست.

فرمول (68.6) و (68.7) نه تنها برای یک ذره بنیادی، بلکه برای یک جسم پیچیده متشکل از ذرات بسیار معتبر است. انرژی چنین جسمی علاوه بر انرژی های باقیمانده ذرات موجود در ترکیب آن، انرژی جنبشی ذرات (به دلیل حرکت آنها نسبت به مرکز جرم بدن) و انرژی برهمکنش آنها را نیز در بر می گیرد. با همدیگر. انرژی سکون، مانند انرژی کل (68.7)، انرژی پتانسیل یک جسم در میدان نیروی خارجی را شامل نمی شود.

با حذف سرعت v از معادلات (67.5) و (68.7) (معادله (67.5) باید به صورت اسکالر گرفته شود)، عبارت انرژی کل ذره را بر حسب تکانه p بدست می آوریم:

در موردی که این فرمول را می توان در فرم نشان داد

عبارت حاصل با بیان نیوتنی انرژی جنبشی در اصطلاح متفاوت است

توجه داشته باشید که از مقایسه عبارات (67.5): و (68.7) فرمول زیر است:

اجازه دهید توضیح دهیم که چرا یک ذره آزاد باید انرژی (68.7) و نه فقط انرژی جنبشی (68.5) نسبت داده شود. انرژی به معنای آن باید یک کمیت حفظ شده باشد. ملاحظات مربوطه نشان می دهد که در هنگام برخورد ذرات، مجموع (بر روی ذرات) عبارات شکل (7/68) حفظ می شود، در حالی که مجموع عبارات (5/68) غیرقابل حفظ است. اگر انرژی سکون (68.6) به عنوان بخشی از انرژی کل در نظر گرفته نشود، برآوردن نیاز بقای انرژی در تمام چارچوب های مرجع اینرسی غیرممکن است.

این تنها می تواند تا حدی محققین را هنگام انجام محاسبات ریاضی و ترسیم مدل های ریاضی خاص راضی کند. قوانین نیوتن فقط برای تبدیل های گالیله معتبر است، اما برای همه موارد دیگر تبدیل های جدیدی مورد نیاز است که در تبدیل های لورنتس ارائه شده منعکس شده است. او چنین اصول و مفاهیمی را برای انجام محاسبات دقیق برای اجسام متقابلی که فرآیندهای مشابهی را با سرعت بسیار بالا و نزدیک به سرعت نور انجام می دهند، معرفی کرد.

شکل 1. تکانه و انرژی در مکانیک نسبیتی. نویسنده24 - تبادل آنلاین کار دانشجویی

خود نظریه نسبیت، که توسط آلبرت انیشتین تدوین شد، مستلزم بازنگری جدی در اصول مکانیک کلاسیک است. لورنتز معادلات دیگری از دینامیک را معرفی کرد که هدف آنها همان تبدیل ایده های کلاسیک در مورد فرآیندهای فیزیکی در حال انجام بود. لازم بود که فرمول ها را طوری تغییر دهیم که هنگام انتقال از یک سیستم مرجع اینرسی به سیستم مرجع اینرسی صحیح باقی بمانند.

انگیزه نسبیتی

شکل 2. تکانه نسبیتی. نویسنده24 - تبادل آنلاین کار دانشجویی

برای معرفی مفهوم انرژی در مکانیک نسبیتی باید به موارد زیر توجه کرد:

  • تکانه نسبیتی؛
  • اصل مکاتبات

هنگام به دست آوردن یک بیان نسبیتی حرکت، لازم است که اصل مطابقت را اعمال کنیم. در مکانیک نسبیتی، تکانه یک ذره را می توان با سرعت آن ذره تعیین کرد. با این حال، به نظر می رسد وابستگی تکانه به سرعت مکانیسم پیچیده تری نسبت به فرآیندهای مشابه در مکانیک کلاسیک باشد. این دیگر نمی تواند به تناسب ساده کاهش یابد و اثربخشی محاسبات شامل پارامترها و مقادیر اضافی است. تکانه به عنوان یک بردار نشان داده می شود، جایی که جهت آن باید کاملاً با جهت سرعت یک ذره خاص منطبق باشد. این در نوع تقارن ارائه شده است، زیرا هم ارزی به دلیل همسانگردی فضای آزاد اعمال می شود.

یادداشت 1

در این حالت، تکانه یک ذره آزاد به سمت یک جهت انتخاب شده از سرعت آن هدایت می شود. اگر سرعت ذرات صفر باشد، تکانه ذره نیز صفر است.

سرعت یک ذره در هر چارچوب مرجع دارای یک مقدار محدود است. همیشه باید کمتر از سرعت نور باشد که به شکل حرف C نمایش داده می شود، اما این واقعیت قادر به اعمال محدودیت هایی بر کل بزرگی تکانه این ذره نیست و تکانه می تواند بدون محدودیت افزایش یابد.

انرژی نسبیتی

با مقایسه روش ها و تکنیک های مختلف محاسبه، می توان انرژی نسبیتی ذرات را یافت. مشخص است که یک خاصیت بسیار مهم انرژی توانایی آن در تبدیل از شکلی به شکل دیگر و بالعکس است. این در مقادیر معادل و در شرایط مختلف خارجی رخ می دهد. این دگرگونی ها یکی از قوانین اساسی بقا و تبدیل انرژی را تشکیل می دهند. با چنین پدیده هایی، محققان افزایشی در جرم نسبیتی ایجاد کرده اند. فرآیندهای مشابهی با افزایش انرژی اجسام رخ می دهد و این به نوع خاصی از انرژی از جمله انرژی جنبشی بستگی ندارد. ثابت شده است که انرژی کل یک جسم با جرم نسبیتی آن متناسب است. این صرف نظر از اینکه از چه نوع انرژی خاصی تشکیل شده است اتفاق می افتد.

از نظر بصری، چنین فرآیندهایی را می توان در قالب مثال های ساده نشان داد:

  • یک جسم گرم شده دارای جرم استراحت بیشتری نسبت به یک جسم سرد خواهد بود.
  • یک قطعه تغییر شکل مکانیکی نیز دارای جرم بیشتری نسبت به قطعه ای است که پردازش نشده است.

انیشتین این رابطه بین جرم و انرژی یک جسم را درک کرد. بر این اساس، در هنگام برخورد غیرکشسانی ذرات مختلف، فرآیندهای خاصی برای تبدیل انرژی جنبشی به انرژی داخلی رخ می دهد. به آن انرژی حرکت حرارتی ذرات نیز می گویند. با این نوع فعل و انفعال، واضح است که جرم سکون بدن در ابتدای آزمایش بیشتر از کل جرم استراحت اجسام خواهد شد. انرژی درونی یک جسم خاص می تواند با افزایش جرم به طور متناسب همراه باشد. همین فرآیند برای افزایش ارزش انرژی جنبشی طبیعی است. طبق مکانیک کلاسیک، چنین برخوردهایی به معنای تشکیل انرژی داخلی نیست، زیرا در مفهوم انرژی مکانیکی گنجانده نشده است.

تناسب جرم و انرژی

برای عملکرد منطقی قانون انرژی نسبیتی، لازم است مفهوم قانون بقای تکانه و رابطه آن با اصل نسبیت معرفی شود. این مستلزم آن است که قانون بقای انرژی در چارچوب های مرجع اینرسی مختلف رعایت شود.

حفظ تکانه ارتباط تنگاتنگی با تناسب انرژی و جرم بدن در تمام اشکال و مظاهر آن دارد. هنگامی که انرژی از شکل معمول خود به دیگری انتقال می یابد، بقای تکانه در یک چارچوب مرجع بسته امکان پذیر نیست. در این مورد، وزن بدن شروع به تغییر می کند و قانون به درستی اعمال نمی شود. قانون تناسب جرم و انرژی به عنوان تقریبی ترین نتیجه کل نظریه نسبیت بیان می شود.

خواص بی اثر بدن از نظر کمی مکانیک توده بدن را مشخص می کند. چنین جرم بی اثری می تواند نشان دهنده اندازه گیری اینرسی کل بدن باشد. پاد پاد جرم اینرسی جرم گرانشی است. مشخصه آن توانایی یک جسم برای ایجاد میدان گرانشی خاصی در اطراف خود و در نتیجه عمل بر روی اجسام دیگر است.

در حال حاضر، برابری جرم گرانشی و اینرسی توسط تعداد زیادی از مطالعات تجربی تایید شده است. در نظریه نسبیت، این سؤال نیز مطرح می شود که مفاهیم انرژی و جرم یک جسم در کجا ظاهر می شوند. این به دلیل تجلی خواص مختلف ماده است. اگر آنها در صفحه نشان داده شده با جزئیات بررسی شوند، جرم و انرژی در ماده به طور قابل توجهی متفاوت خواهد بود. با این حال، چنین خصوصیاتی از ماده بدون شک به شدت به هم مرتبط هستند. در این زمینه، مرسوم است که در مورد هم ارزی جرم و انرژی صحبت کنیم، زیرا آنها با یکدیگر متناسب هستند.

 

شاید خواندن آن مفید باشد: