Relatywistyczna energia kinetyczna. Relatywistyczna energia kinetyczna Zależność pomiędzy energią i pędem

Formuła E = t 2 gdyż energia relatywistyczna pozwala nam podać nową, relatywistyczną interpretację masy cząstki (punktu materialnego). Pokazuje, że cząstka ma energię mi oznacza, że ​​ma masę mi/s 2 i odwrotnie, obecność masy T oznacza obecność energii ts?. Zatem masa, która w mechanice klasycznej jest interpretowana albo jako miara bezwładności ciała (druga zasada Newtona), albo jako miara jego działania grawitacyjnego (prawo powszechnego ciążenia), w mechanice relatywistycznej pojawia się w nowej funkcji: to jest miara zawartości energii ciało, niezależnie od jego właściwości bezwładnościowych lub grawitacyjnych. W szczególności każde ciało ma energię nawet w stanie spoczynku: jest to jego energia spoczynkowa tsh 2. Uniwersalność związku pomiędzy masą a energią przejawia się w tym, że „zawartość energetyczna” ciała obejmuje każdy rodzaj energii zawartej w tym ciele, w tym np. energię wewnątrzjądrową uwolnioną podczas wybuchu jądrowego (co potwierdza obliczenia wybuchów bomb atomowych).

Chociaż często używaliśmy pojęć „punkt materialny” lub „cząstka”, nigdy nie używaliśmy ani punktowych właściwości ciała, ani „elementarnej” natury cząstki. Dlatego wzór na energię relatywistyczną ma zastosowanie do dowolnego złożonego ciała składającego się z wielu cząstek i przy prędkości I rozumiemy prędkość jego ruchu jako całość, a przez jego relatywistyczną masę – jego masę jako całość. I wtedy jest oczywiste, że relatywistyczna energia ciała jest zawsze wielkością dodatnią, bezpośrednio związaną z jego masą. W związku z tym można zauważyć, że w mechanice klasycznej tylko energia kinetyczna ciała jest dodatnia, podczas gdy całkowita (zachowana) energia kinetyczna plus energia potencjalna może być również ujemna.

Niech układ mechaniczny jako całość będzie w spoczynku i niech M 0 będzie jego masą spoczynkową. Jeżeli składa się ze swobodnie poruszających się cząstek, to jego energia relatywistyczna jest równa sumie energii relatywistycznych cząstek wchodzących w jego skład. Zupełnie inny obraz mamy w przypadku, gdy cząstki złożonego ciała (układu) oddziałują ze sobą. Następnie całkowita energia Md s 2 ciało złożone zawiera, oprócz energii spoczynkowej cząstek wchodzących w jego skład, ich energię kinetyczną (mogą poruszać się w układzie zamkniętym), a także energię ich wzajemnego oddziaływania (na przykład energię oddziaływanie jądrowe cząstek tworzących jądro atomu). Zatem energia Mqc? ciało nie jest równe sumie Xd T 0 KS2, gdzie tdd jest masą spoczynkową och cząstki ciała. Wynika z tego bezpośrednio, że masa Mo ciała w spoczynku nie jest równa sumie mas spoczynkowych jego części składowych: Mo F Xd t 0?- Oznacza to, że w dynamice relatywistycznej nie jest spełnione prawo zachowania masy. To kolejna różnica w stosunku do mechaniki klasycznej: masa złożonego ciała nie jest równa sumie mas jego części. Jednocześnie energia relatywistyczna układu zamkniętego jest zachowana, jeśli uwzględnimy energię spoczynkową układu. Jeśli nie uwzględnimy energii spoczynkowej we wszystkich układach jako części energii całkowitej, wówczas nie będzie możliwe spełnienie prawa zachowania pędu i energii we wszystkich układach odniesienia. Tej lekcji, której nauczyła nas fizyka relatywistyczna, w żaden sposób nie spodziewano się w fizyce newtonowskiej.

Układy oddziałujących cząstek można podzielić na dwa typy: układy, które mogą samorzutnie się rozpadać, oraz układy, które są połączone, czyli posiadające margines bezpieczeństwa. Jeśli układ rozpada się, wówczas jego energia relatywistyczna częściowo przekształca się w energię kinetyczną uwolnionych cząstek; dlatego konieczne jest Mds 2 > Xa- or

ilio > Xa M 0 k, ~ ciało może samorzutnie rozpaść się tylko na części, których suma mas spoczynkowych jest mniejsza od masy spoczynkowej ciała. Przeciwnie, jeśli Md poprzez energię wiązania ciała: E Św. Wartość dodatnia

zwany defekt masy złożone ciało.

Jak widzimy, w mechanice relatywistycznej masa i energia układu cząstek zależą od jego składu i stanu wewnętrznego. W przypadku układu związanego (silnego), np. jądra atomowego, suma mas spoczynkowych wolnych protonów i neutronów jest zawsze większa od masy spoczynkowej utworzonego z nich jądra.

12.4. Energia cząstki relatywistycznej

12.4.1. Energia cząstki relatywistycznej

Całkowita energia cząstki relatywistycznej składa się z energii spoczynkowej cząstki relatywistycznej i jej energii kinetycznej:

mi = mi 0 + T ,

Równoważność masy i energii(wzór Einsteina) pozwala nam wyznaczyć energię spoczynkową cząstki relatywistycznej i jej energię całkowitą w następujący sposób:

  • energia spoczynkowa -

mi 0 = m 0 do 2 ,

gdzie m 0 jest masą spoczynkową cząstki relatywistycznej (masą cząstki w jej własnym układzie odniesienia); c jest prędkością światła w próżni, c ≈ 3,0 ⋅ 10 8 m/s;

  • całkowita energia -

E = mc2,

gdzie m jest masą poruszającej się cząstki (masa cząstki poruszającej się względem obserwatora z relatywistyczną prędkością v); c to prędkość światła w próżni, c ≈ 3,0 ⋅ 10 8 m/s.

Zależność między masami m 0 (masa cząstki w spoczynku) i m (masa poruszającej się cząstki) są określone przez wyrażenie

Energia kinetyczna cząstkę relatywistyczną wyznacza różnica:

T = mi - mi 0 ,

gdzie E jest całkowitą energią poruszającej się cząstki, E = mc 2; E 0 - energia spoczynkowa określonej cząstki, E 0 = m 0 c 2 ; masy m 0 i m są powiązane wzorem

m = m 0 1 - v 2 do 2 ,

gdzie m 0 jest masą cząstki w układzie odniesienia, względem którego cząstka pozostaje w spoczynku; m jest masą cząstki w układzie odniesienia, względem której cząstka porusza się z prędkością v; c to prędkość światła w próżni, c ≈ 3,0 ⋅ 10 8 m/s.

Wyraźnie energia kinetyczna cząstkę relatywistyczną definiuje wzór

T = m do 2 - m 0 do 2 = m 0 do 2 (1 1 - v 2 do 2 - 1) .

Przykład 6. Prędkość cząstki relatywistycznej wynosi 80% prędkości światła. Oblicz, ile razy całkowita energia cząstki jest większa od jej energii kinetycznej.

Rozwiązanie . Całkowita energia cząstki relatywistycznej składa się z energii spoczynkowej cząstki relatywistycznej i jej energii kinetycznej:

mi = mi 0 + T ,

gdzie E jest całkowitą energią poruszającej się cząstki; E 0 - energia spoczynkowa określonej cząstki; T jest jego energią kinetyczną.

Wynika z tego, że różnica polega na energii kinetycznej

T = mi - mi 0 .

Wymagana ilość to stosunek

mi T = mi mi - mi 0 .

Aby uprościć obliczenia, znajdźmy odwrotność pożądanej wartości:

T mi = mi - mi 0 mi = 1 - mi 0 mi ,

gdzie mi 0 = m 0 do 2 ; mi = mc2; m 0 - masa spoczynkowa; m jest masą poruszającej się cząstki; c jest prędkością światła w próżni.

Podstawienie wyrażeń E0 i E do stosunku (T/E) daje

T mi = 1 - m 0 do 2 m do 2 = 1 - m 0 m .

Zależność między masami m 0 i m określa wzór

m = m 0 1 - v 2 do 2 ,

gdzie v jest prędkością cząstki relatywistycznej, v = 0,80c.

Wyraźmy stąd stosunek mas:

m 0 m = 1 - v 2 do 2

i podstaw go do (T/E):

T mi = 1 - 1 - v 2 do 2 .

Obliczmy:

T mi = 1 - 1 - (0,80 do) 2 do 2 = 1 - 0,6 = 0,4.

Wymagana ilość to odwrotny stosunek

mi T = 1 0,4 = 2,5 .

Całkowita energia cząstki relatywistycznej przy wskazanej prędkości przekracza jej energię kinetyczną 2,5 razy.

Tematyka kodyfikatora Unified State Examination: energia całkowita, związek masy z energią, energia spoczynkowa.

W dynamice klasycznej zaczęliśmy od praw Newtona, następnie przeszliśmy do pędu, a następnie do energii. Tutaj, dla uproszczenia prezentacji, zrobimy dokładnie odwrotnie: zaczniemy od energii, następnie przejdziemy do pędu, a skończymy na relatywistycznym równaniu ruchu – modyfikacji drugiej zasady Newtona dla teorii względności.

Energia relatywistyczna

Załóżmy, że izolowane ciało o masie znajduje się w spoczynku w danym układzie odniesienia. Jednym z najbardziej imponujących osiągnięć teorii względności jest słynna Wzór Einsteina:

Oto energia ciała, to prędkość światła w próżni. Ponieważ ciało znajduje się w spoczynku, nazywa się energię obliczoną według wzoru (1). energia odpoczynku.

Wzór (1) stwierdza, że ​​każde ciało samo w sobie posiada energię – po prostu dlatego, że istnieje w przyrodzie. Mówiąc obrazowo, natura włożyła pewien wysiłek, aby „złożyć” dane ciało z najmniejszych cząstek materii, a miarą tych wysiłków jest energia spoczynkowa ciała. Ta energia jest bardzo wielka; Zatem jeden kilogram materii zawiera energię

Zastanawiam się, ile paliwa trzeba spalić, aby wyzwolić tyle energii? Weźmy na przykład drzewo. Jego ciepło właściwe spalania jest równe J/kg, więc znajdujemy: kg. To dziewięć milionów ton!

Dla porównania: zunifikowany system energetyczny Rosji produkuje taką energię w około dziesięć dni.

Dlaczego tak potężna energia zawarta w organizmie do tej pory pozostawała przez nas niezauważona? Dlaczego nie uwzględniliśmy energii spoczynkowej w nierelatywistycznych zagadnieniach związanych z zachowaniem i transformacją energii? Już niedługo odpowiemy na to pytanie.

Ponieważ energia spoczynkowa ciała jest wprost proporcjonalna do jego masy, zmiana energii spoczynkowej o pewną wartość prowadzi do zmiany masy ciała o

Tak więc, gdy ciało jest podgrzewane, jego energia wewnętrzna wzrasta, a zatem wzrasta masa ciała! W życiu codziennym nie zauważamy tego efektu ze względu na jego ekstremalną małość. Przykładowo, aby ogrzać wodę o masie kg (ciepło właściwe wody jest równe ) musi ona przekazać ilość ciepła:

Wzrost masy wody będzie równy:

Tak nieznacznej zmiany masy nie da się zauważyć na tle błędów przyrządów pomiarowych.

Wzór (1) podaje energię ciała w spoczynku. Co się zmienia, jeśli ciało się porusza?

Rozważmy ponownie stacjonarny układ odniesienia i układ poruszający się ze względną prędkością. Niech ciało o masie będzie w spoczynku w układzie; wówczas energia ciała w układzie jest energią spoczynkową, obliczoną ze wzoru (1). Okazuje się, że wchodząc do układu, energia ulega przemianie w taki sam sposób jak czas - a mianowicie energia ciała w układzie, w którym ciało porusza się z prędkością, jest równa:

( 2 )

Wzór (2) został również ustalony przez Einsteina. Wielkość jest całkowita energia poruszające się ciało. Ponieważ wzór ten jest podzielony przez „pierwiastek relatywistyczny”, który jest mniejszy od jedności, całkowita energia poruszającego się ciała przewyższa energię spoczynkową. Energia całkowita będzie równa energii spoczynkowej tylko w punkcie .

Wyrażenie na energię całkowitą (2) pozwala nam wyciągnąć ważne wnioski na temat możliwych prędkości ruchu obiektów w przyrodzie.

1. Każde masywne ciało ma określoną energię, więc nierówność musi być spełniona

To znaczy, że: prędkość masywnego ciała jest zawsze mniejsza niż prędkość światła.

2. W przyrodzie istnieją cząstki bez masy (na przykład fotony), które przenoszą energię. Podstawiając do wzoru (2), jego licznik staje się zerem. Ale energia fotonu jest niezerowa!

Jedynym sposobem uniknięcia sprzeczności jest zaakceptowanie tego cząstka bez masy musi poruszać się z prędkością światła. Wtedy mianownik naszej formuły spadnie do zera, więc formuła (2) po prostu zawiedzie. Znalezienie wzorów na energię cząstek bezmasowych nie wchodzi w zakres teorii względności. Zatem wyrażenie na energię fotonów zostało ustalone w fizyce kwantowej.

Intuicyjnie wyczuwa się, że na energię całkowitą (2) składa się energia spoczynkowa oraz rzeczywista „energia ruchu”, czyli energia kinetyczna ciała. Przy małych prędkościach jest to wyraźnie widoczne. Używamy przybliżonych wzorów, które obowiązują dla:

( 3 )
( 4 )

Stosując te wzory konsekwentnie otrzymujemy z (2):

( 5 )

Zatem przy małych prędkościach ruchu całkowita energia jest po prostu zredukowana do sumy energii spoczynkowej i energii kinetycznej. Służy to jako motywacja do zdefiniowania pojęcia energii kinetycznej w teorii względności:

. ( 6 )

Kiedy formuła (6) zamienia się w wyrażenie nierelatywistyczne.

Teraz możemy odpowiedzieć na zadane powyżej pytanie, dlaczego energia spoczynkowa nie została jeszcze uwzględniona w nierelatywistycznych relacjach energii. Jak widać z (5), przy małych prędkościach ruchu energia spoczynkowa wchodzi w skład energii całkowitej. W zagadnieniach np. mechaniki i termodynamiki zmiany energii ciał wynoszą maksymalnie kilka milionów dżuli; zmiany te są na tyle nieznaczne w porównaniu z energiami spoczynkowymi rozpatrywanych ciał, że prowadzą do mikroskopijnych zmian w ich masach. Można zatem z dużą dokładnością założyć, że całkowita masa ciał nie zmienia się podczas procesów mechanicznych lub termicznych. W rezultacie sumy energii spoczynkowej ciał na początku i na końcu procesu są po prostu zmniejszane w obu częściach prawa zachowania energii!

Ale nie zawsze tak się dzieje. W innych sytuacjach fizycznych zmiany energii ciał mogą prowadzić do bardziej zauważalnych zmian w masie całkowitej. Zobaczymy na przykład, że w reakcjach jądrowych różnice w masie produktów początkowych i końcowych wynoszą zwykle ułamki procenta. Na przykład podczas rozpadu jądra uranu całkowita masa produktów rozpadu jest w przybliżeniu mniejsza niż masa początkowego jądra. Ta jedna tysięczna masy jądra jest uwalniana w postaci energii, która w przypadku wybuchu bomby atomowej może zniszczyć miasto.

Podczas zderzenia niesprężystego część energii kinetycznej ciał zamienia się na ich energię wewnętrzną. Relatywistyczne prawo zachowania energii całkowitej uwzględnia ten fakt: całkowita masa ciał po zderzeniu wzrasta!

Rozważmy jako przykład dwa ciała o masie lecące ku sobie z tą samą prędkością. W wyniku niesprężystego zderzenia powstaje ciało o masie, którego prędkość jest równa zeru zgodnie z zasadą zachowania pędu (prawo to zostanie omówione później). Zgodnie z prawem zachowania energii otrzymujemy:

Widzimy, że masa powstałego ciała przekracza sumę mas ciał przed zderzeniem. Nadmiar masy równy , powstał w wyniku przejścia energii kinetycznej zderzających się ciał na energię wewnętrzną.

Impuls relatywistyczny.

Klasyczne wyrażenie pędu nie jest odpowiednie w teorii względności - w szczególności nie zgadza się z relatywistycznym prawem dodawania prędkości. Zobaczmy to na następującym prostym przykładzie.

Pozwól systemowi poruszać się względem systemu z dużą prędkością (ryc. 1). Dwa ciała o masie w układzie lecą ku sobie z tą samą prędkością. Następuje zderzenie niesprężyste.

W systemie ciała zatrzymują się po zderzeniu. Znajdźmy, jak wyżej, masę powstałego ciała:

Przyjrzyjmy się teraz procesowi kolizji z punktu widzenia systemu. Przed zderzeniem lewe ciało miało prędkość:

Prawe ciało ma prędkość:

Nierelatywistyczny pęd naszego układu przed zderzeniem jest równy:

Po zderzeniu powstałe ciało masowe porusza się z prędkością.
Jego nierelatywistyczny pęd jest równy:

Jak widzimy, nierelatywistyczny pęd nie jest zachowany.

Okazuje się, że poprawne wyrażenie pędu w teorii względności uzyskuje się dzieląc wyrażenie klasyczne przez „pierwiastek relatywistyczny”: pęd ciała masowego poruszającego się z prędkością jest równy:

Wróćmy do przykładu, który właśnie rozważaliśmy i upewnijmy się, że teraz wszystko będzie w porządku z zasadą zachowania pędu.

Impuls systemowy przed kolizją:

Impuls po zderzeniu:

Teraz wszystko się zgadza: !

Zależność energii i pędu.

Ze wzorów (2) i (7) można otrzymać niezwykłą zależność pomiędzy energią i pędem w teorii względności. Podnosimy do kwadratu obie strony tych wzorów:

Przekształćmy różnicę:

Oto wymagany współczynnik:

. ( 8 )

Wzór ten pozwala nam zidentyfikować prostą zależność pomiędzy energią i pędem fotonu. Foton ma masę zerową i porusza się z prędkością światła. Jak już wspomniano powyżej, w SRT nie można znaleźć samej energii i pędu fotonu: kiedy podstawimy wartości i do wzorów (2) i (7), otrzymamy zera w liczniku i mianowniku. Ale za pomocą (8) łatwo znajdujemy: , lub

( 9 )

W fizyce kwantowej ustala się wyrażenie na energię fotonu, po czym wyznacza się jego pęd za pomocą wzoru (9).

Relatywistyczne równanie ruchu.

Rozważmy ciało o masie poruszające się wzdłuż osi pod wpływem siły. Równanie ruchu ciała w mechanice klasycznej to drugie prawo Newtona: . Jeżeli w nieskończenie krótkim czasie przyrost prędkości ciała będzie równy , to , a równanie ruchu będzie zapisane w postaci:

. ( 10 )

Zauważmy teraz, że jest to zmiana nierelatywistycznego pędu ciała. W efekcie otrzymujemy „impulsową” formę zapisu drugiej zasady Newtona – pochodna pędu ciała po czasie jest równa sile przyłożonej do ciała:

. ( 11 )

Wszystkie te rzeczy są Ci znane, ale nie zaszkodzi je powtórzyć ;-)

Klasyczne równanie ruchu – drugie prawo Newtona – jest niezmienne w odniesieniu do przekształceń Galileusza, które w mechanice klasycznej opisują przejście z jednego inercjalnego układu odniesienia do drugiego (oznacza to, pamiętajmy, że podczas tego przejścia drugie prawo Newtona zachowuje swoją formę). Natomiast w STW przejście pomiędzy inercjalnymi układami odniesienia opisują transformacje Lorentza i względem nich drugie prawo Newtona nie jest już niezmienne. W konsekwencji klasyczne równanie ruchu należy zastąpić równaniem relatywistycznym, które zachowuje swoją formę pod wpływem przekształceń Lorentza.

Fakt, że drugie prawo Newtona (10) nie może być prawdziwe w SRT, widać wyraźnie na poniższym prostym przykładzie. Załóżmy, że na ciało działa stała siła. Wtedy, zgodnie z mechaniką klasyczną, ciało będzie poruszać się ze stałym przyspieszeniem; prędkość ciała będzie rosła liniowo i z biegiem czasu przekroczy prędkość światła. Ale wiemy, jak jest naprawdę
w rzeczywistości jest to niemożliwe.

Prawidłowe równanie ruchu w teorii względności okazuje się wcale nie skomplikowane.
Relatywistyczne równanie ruchu ma postać (11), gdzie p jest relatywistycznym pędem:

. ( 12 )

Pochodna impulsu relatywistycznego po czasie jest równa sile przyłożonej do ciała.

W teorii względności równanie (12) zastępuje drugie prawo Newtona.

Przekonajmy się, jak faktycznie będzie się poruszało ciało o masie m pod wpływem stałej siły. Pod warunkiem ze wzoru (12) otrzymujemy:

Pozostaje wyrazić prędkość stąd:

. ( 13 )

Zobaczmy, co daje ten wzór dla małych i długich czasów ruchu.
Stosujemy relacje przybliżone dla:

, ( 14 )

. ( 15 )

Wzory (14) i (15) różnią się od wzorów (3) i (4) jedynie znakiem po lewej stronie. Gorąco polecam zapamiętanie wszystkich tych czterech przybliżonych równości - są one często używane w fizyce.

Zaczynamy więc od małych czasów ruchu. Przekształćmy wyrażenie (13) w następujący sposób:

Dla małych mamy:

Konsekwentnie korzystając z naszych przybliżonych wzorów otrzymujemy:

Wyrażenie w nawiasie prawie nie różni się od jedności, więc dla małych wartości mamy:

Oto przyspieszenie ciała. Otrzymaliśmy wynik dobrze nam znany z mechaniki klasycznej: prędkość ciała rośnie liniowo z czasem. Nie jest to zaskakujące – przy krótkich czasach ruchu prędkość ciała jest również mała, zatem możemy pominąć efekty relatywistyczne i skorzystać ze zwykłej mechaniki Newtona.

Przejdźmy teraz do wielkich czasów. Przekształćmy wzór (13) inaczej:

Dla dużych wartości mamy:

Wyraźnie widać, że gdy prędkość ciała stopniowo zbliża się do prędkości światła, ale zawsze pozostaje mniejsza – zgodnie z wymogami teorii względności.

Zależność prędkości ciała od czasu wyrażona wzorem (13) została przedstawiona graficznie na rys. 2.

Początkowa część wykresu jest prawie liniowa; Mechanika klasyczna nadal się tu sprawdza. Następnie zaczynają obowiązywać poprawki relatywistyczne, wykres zostaje wygięty i w większości przypadków nasza krzywa asymptotycznie zbliża się do linii prostej.

Drugie prawo Newtona stwierdza, że ​​pochodna pędu cząstki (punktu materialnego) po czasie jest równa wypadkowej sile działającej na cząstkę (patrz wzór (9.1)). Równanie drugiej zasady okazuje się niezmienne w przypadku przekształceń Lorentza, jeśli przez pęd rozumiemy wielkość (67,5). W konsekwencji relatywistyczny wyraz Drugiego Prawa Newtona ma postać

Należy pamiętać, że zależność ta nie ma zastosowania w przypadku relatywistycznym, a przyspieszenie w i siła F, ogólnie rzecz biorąc, okazują się niewspółliniowe.

Należy pamiętać, że pęd i siła nie są wielkościami niezmiennymi. Wzory na przekształcenie składowych pędu przy przechodzeniu z jednego inercyjnego układu odniesienia do drugiego otrzymamy w następnym akapicie. Podamy wzory na przeliczanie składowych siły bez. wyjście:

(prędkość cząstek w układzie K). Jeżeli w układzie K siła F działająca na cząstkę jest prostopadła do prędkości cząstki V, to iloczyn skalarny FV jest równy zeru i pierwszy ze wzorów (68.2) upraszcza się w następujący sposób:

Aby znaleźć relatywistyczny wyraz energii, zrobimy to samo, co w § 19. Pomnóż równanie (68.1) przez przemieszczenie cząstki. W rezultacie otrzymujemy

Prawa strona tej zależności podaje pracę wykonaną nad cząstką w czasie. W § 19 wykazano, że praca wypadkowej wszystkich sił zmierza do zwiększenia energii kinetycznej cząstki (patrz wzór). W konsekwencji lewą stronę zależności należy interpretować jako wzrost energii kinetycznej T cząstki w czasie. Zatem,

Przekształćmy powstałe wyrażenie, biorąc pod uwagę, że (patrz (2.54)):

Całkowanie powstałej relacji daje

(68.4)

W sensie energii kinetycznej musi ona zniknąć w Stąd wartość stałej jest równa Dlatego relatywistyczne wyrażenie na energię kinetyczną cząstki ma postać

W przypadku małych prędkości wzór (68.5) można przekształcić w następujący sposób:

Dotarliśmy do Newtonowskiego wyrażenia na energię kinetyczną cząstki. Można było się tego spodziewać, gdyż przy prędkościach znacznie mniejszych od prędkości światła wszystkie wzory mechaniki relatywistycznej muszą przekształcić się w odpowiadające im wzory mechaniki Newtona.

Rozważmy cząstkę swobodną (tj. cząstkę, na którą nie działają siły zewnętrzne) poruszającą się z prędkością v. Dowiedzieliśmy się, że cząstka ta ma energię kinetyczną określoną wzorem (68,5). Istnieją jednak podstawy (patrz niżej), aby przypisać cząstce swobodnej, oprócz energii kinetycznej (68,5), dodatkową energię równą

Zatem całkowita energia swobodnej cząstki jest określona przez wyrażenie. Uwzględniając (68,5) otrzymujemy to

Kiedy wyrażenie (68.7) staje się (68.6). Dlatego nazywa się ją energią spoczynkową. Energia ta reprezentuje energię wewnętrzną cząstki, niezwiązaną z ruchem cząstki jako całości.

Wzory (68.6) i (68.7) obowiązują nie tylko dla cząstki elementarnej, ale także dla ciała złożonego składającego się z wielu cząstek. Energia takiego ciała zawiera, oprócz energii spoczynkowych cząstek wchodzących w jego skład, także energię kinetyczną cząstek (w wyniku ich ruchu względem środka masy ciała) oraz energię ich oddziaływania ze sobą. Energia spoczynkowa, podobnie jak energia całkowita (68,7), nie obejmuje energii potencjalnej ciała w polu sił zewnętrznych.

Eliminując prędkość v z równań (67.5) i (68.7) (równanie (67.5) należy przyjąć w postaci skalarnej), otrzymujemy wyrażenie na całkowitą energię cząstki wyrażoną w pędzie p:

W przypadku, gdy tę formułę można przedstawić w formie

Otrzymane wyrażenie różni się od wyrażenia Newtona dotyczącego energii kinetycznej w tym wyrażeniu

Zauważmy, że z porównania wyrażeń (67.5): i (68.7) wynika następujący wzór:

Wyjaśnijmy, dlaczego cząstce swobodnej należy przypisać energię (68,7), a nie tylko energię kinetyczną (68,5). Energia w jej rozumieniu musi być wielkością zachowaną. Z odpowiednich rozważań wynika, że ​​podczas zderzeń cząstek suma (po cząstkach) wyrażeń postaci (68,7) jest zachowana, natomiast suma wyrażeń (68,5) okazuje się niezachowana. Niemożliwe jest spełnienie warunku zachowania energii we wszystkich inercjalnych układach odniesienia, jeżeli w energii całkowitej nie uwzględni się energii spoczynkowej (68,6).

Tylko częściowo może zadowolić badaczy przy wykonywaniu obliczeń matematycznych i tworzeniu określonych modeli matematycznych. Prawa Newtona obowiązują tylko dla przekształceń Galileusza, ale we wszystkich innych przypadkach wymagane są nowe przekształcenia, które znajdują odzwierciedlenie w zaprezentowanych przekształceniach Lorentza. Wprowadził takie zasady i koncepcje, aby dokonać dokładnych obliczeń oddziałujących ze sobą obiektów, które dokonują podobnych procesów z niezwykle dużymi prędkościami, bliskimi prędkości światła.

Rysunek 1. Pęd i energia w mechanice relatywistycznej. Author24 - internetowa wymiana prac studenckich

Sama teoria względności sformułowana przez Alberta Einsteina wymaga poważnej rewizji dogmatów mechaniki klasycznej. Lorentz wprowadził dodatkowe równania dynamiki, których celem było takie samo przekształcenie klasycznych wyobrażeń o zachodzących procesach fizycznych. Należało zmienić wzory, aby pozostały poprawne przy przechodzeniu z jednego inercjalnego układu odniesienia do drugiego.

Impuls relatywistyczny

Rysunek 2. Impuls relatywistyczny. Author24 - internetowa wymiana prac studenckich

Aby wprowadzić pojęcie energii do mechaniki relatywistycznej, należy wziąć pod uwagę:

  • impuls relatywistyczny;
  • zasada korespondencji.

Uzyskując relatywistyczny wyraz pędu, konieczne jest zastosowanie zasady korespondencji. W mechanice relatywistycznej pęd cząstki można określić na podstawie prędkości tej cząstki. Jednakże zależność pędu od prędkości wydaje się być mechanizmem bardziej złożonym niż podobne procesy w mechanice klasycznej. Nie da się tego już sprowadzić do prostej proporcjonalności, a na efektywność obliczeń składają się dodatkowe parametry i wielkości. Pęd jest reprezentowany jako wektor, którego kierunek musi całkowicie pokrywać się z kierunkiem prędkości określonej cząstki. Jest to przewidziane w wariancie symetrii, ponieważ równoważność wchodzi w życie z powodu izotropii wolnej przestrzeni.

Notatka 1

W tym przypadku pęd cząstki swobodnej jest skierowany w jednym, wybranym kierunku jej prędkości. Jeżeli prędkość cząstek wynosi zero, to pęd cząstki również wynosi zero.

Prędkość cząstki w dowolnym układzie odniesienia ma wartość skończoną. Musi ona zawsze być mniejsza niż prędkość światła, która jest wyświetlana w postaci litery C, jednak fakt ten nie jest w stanie nałożyć pewnych ograniczeń na całą wielkość pędu tej cząstki i pęd może rosnąć bez ograniczeń.

Energia relatywistyczna

Porównując różne metody i techniki obliczeniowe, można znaleźć relatywistyczną energię cząstek. Wiadomo, że bardzo ważną właściwością energii jest jej zdolność do przechodzenia z jednej formy w drugą i odwrotnie. Dzieje się to w równoważnych ilościach i w różnych warunkach zewnętrznych. Metamorfozy te stanowią jedno z podstawowych praw zachowania i przemiany energii. Przy takich zjawiskach badacze ustalili wzrost masy relatywistycznej. Podobne procesy zachodzą przy każdym wzroście energii ciał i nie jest to zależne od konkretnego rodzaju energii, w tym energii kinetycznej. Ustalono, że całkowita energia ciała jest proporcjonalna do jego relatywistycznej masy. Dzieje się tak niezależnie od tego, z jakich konkretnych rodzajów energii się składa.

Wizualnie takie procesy można przedstawić w formie prostych przykładów:

  • ogrzane ciało będzie miało większą masę spoczynkową niż zimny przedmiot;
  • część odkształcona mechanicznie ma również większą masę niż ta, która nie została obrobiona.

Einstein uchwycił związek pomiędzy masą i energią ciała. Odpowiednio, podczas niesprężystego zderzenia różnych cząstek zachodzą pewne procesy przekształcające energię kinetyczną w energię wewnętrzną. Nazywa się ją również energią ruchu termicznego cząstek. Przy tego rodzaju interakcji jasne jest, że masa spoczynkowa ciała będzie większa niż całkowita masa spoczynkowa ciał na początku eksperymentu. Energii wewnętrznej określonego ciała może towarzyszyć proporcjonalny wzrost masy. Ten sam proces jest naturalny w przypadku zwiększania wartości energii kinetycznej. Według mechaniki klasycznej takie zderzenia nie pociągały za sobą powstania energii wewnętrznej, gdyż nie wchodziły w zakres pojęcia energii mechanicznej.

Proporcjonalność masy i energii

Dla logicznego działania prawa energii relatywistycznej konieczne jest wprowadzenie pojęcia prawa zachowania pędu i jego związku z zasadą względności. Wymaga to spełnienia prawa zachowania energii w różnych inercjalnych układach odniesienia.

Zasada zachowania pędu jest ściśle związana z proporcjonalnością energii i masy ciała we wszystkich jej formach i przejawach. Zachowanie pędu nie jest możliwe w zamkniętym układzie odniesienia, gdy następuje przejście energii ze zwykłej postaci do innej. W tym przypadku masa ciała zaczyna się zmieniać, a prawo przestaje obowiązywać prawidłowo. Prawo proporcjonalności masy i energii wyraża się jako najbardziej przybliżony wniosek całej teorii względności.

Bezwładne właściwości ciała w ujęciu ilościowym charakteryzują mechanikę masy ciała. Taka bezwładna masa może stanowić miarę bezwładności całego ciała. Antypodą masy bezwładnościowej jest masa grawitacyjna. Charakteryzuje się zdolnością ciała do wytworzenia wokół siebie pewnego pola grawitacyjnego i w ten sposób oddziaływania na inne ciała.

Obecnie równość masy grawitacyjnej i bezwładnościowej została potwierdzona dużą liczbą badań eksperymentalnych. W teorii względności pojawia się także pytanie, gdzie pojawiają się pojęcia energii i masy ciała. Wynika to z przejawów różnych właściwości materii. Jeśli zostaną szczegółowo zbadane we wskazanej płaszczyźnie, wówczas masa i energia w materii będą się znacznie różnić. Jednakże takie właściwości materii są niewątpliwie ze sobą silnie powiązane. W tym kontekście zwyczajowo mówi się o równoważności masy i energii, ponieważ są one względem siebie proporcjonalne.

 

Może warto przeczytać: